miércoles, 28 de octubre de 2009

4.3 propiedades de vectores, conbinacion lineal,dependencia e independencia lineal.

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes.
Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el simbolo a la derecha del signo de igual no es cero, sino que simboliza al
vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.
Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de
espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.
Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.
Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.
Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente
si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

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