4.1 definicon de espacio vectorial y sus propiedades

espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Propiedades del espacio vectorial. [editar]
Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:
Propiedad
Significado
Unicidad del vector nulo
Unicidad del opuesto de un vector
Producto por el escalar cero
0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.
Producto de un escalar por el vector nulo
a 0 = 0
Opuesto del producto de un vector por un escalar
- (a v) = (-a) v = a (-v)

4.2 definicion de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades..

Subespacio vectorial
Definición
Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.
S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.
Criterio de subespacio
El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:

1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0) 2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto. 3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.
Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Bibliografía propuesta

Libro: introducción al álgebra lineal
Autor: Howard Anton
Editorial: Limaza Wiley

Libro: Algebra lineal
Autor: David Pool
Editorial: Thomson

4.3 propiedades de vectores, conbinacion lineal,dependencia e independencia lineal.

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes.

Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el simbolo a la derecha del signo de igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.
Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.
Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.
Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.
Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

Ejercicios para practicar lo que se vio durante la unidad

ejercicios de calculo de angulos representados en un plano

teorema de moiure

calculo de angulos utilizando radianes

1.4 forma polar y exponencial de un numero complejo

Leonhard Euler

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza.

Su padre Paul Euler era matemático pero había decidido ejercer como pastor calvinista en la iglesia de un pueblo cercano a Basilea. Sin embargo, fue él quien le dio las primeras lecciones de matemáticas a Leonhard y quien más insistió para que su hijo ingresara muy joven a la universidad de Basilea a estudiar matemáticas, teología y hebreo.Esperaba que Leonhard se convirtiera en un buen matemático pero también esperaba, sin duda, que siguiera sus pasos y le sucediera como pastor en el pueblo. Leonhard Euler fue un destacado alumno en la universidad y para 1724 había obtenido ya una licenciatura en matemáticas. A pesar de que su padre le insistía en que debía dedicarse a la iglesia, para fortuna de la humanidad, Euler decidió convertirse en matemático y a partir de los dieciocho años comenzó a investigar y a dar clase. A lo largo de su vida, trabajó en distintas universidades e investigó y resolvió problemas no sólo de matemáticas sino también de física, de medicina, de geografía y de metalurgia. En su estancia en Rusia, de 1727 a 1741, trabajó para el gobierno como director del departamento de geografía y como comisario de pesos y medidas, en particular, su trabajo consistió en construir y verificar las escalas e instrumentos de medida que se utilizaban en la industria. En 1741 se trasladaron él, su mujer y sus trece hijos a vivir a Alemania en donde Euler se dedicó completamente al estudio de las matemáticas; mientras tanto y sin remedio se iba quedando ciego y cada vez le era más difícil escribir. En 1766 regresaron a Rusia por una invitación de la Academia de Ciencias de San Petesburgo y ahí vivió hasta el 7 de septiembre de 1783 día en que, según la frase de un gran amigo suyo, "Euler dejó de calcular y de vivir". Prácticamente en cualquier rama de las matemáticas puede encontrarse el nombre de Euler: algún resultado, alguna aportación, algún teorema o alguna crítica. Leonhard Euler fue un matemático universal y para el día de su muerte no había un solo científico en Europa que no lo conociera y admirara.

plano complejo

1.3 potencias "i", modulo o valor absoluto de un numero complejo.

POTENCIA
La potenciación es una operación matemática, que se nota como an, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
• Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:
• 24 =2.2.2.2=16. En general:
an =ax…xa
• cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo p.

a-p =1/ap
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.
Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

¿quien es Argand?

Jean-Robert Argand
En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el nombre de eje real y el y eje imaginario



Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel.
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áras de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

ejemplo del tema de operaciones fundamentales de numeros complejo. clase impartida el dia miercoles 02 de sep/09

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1.1 definicion y origen de los numeros complejos 1.2 operaciones fundamentales con numeros complejos

numeros complejos

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